Question

（2012•江苏二模）在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱AB的中点，点P在平面A₁B₁C₁D₁，D₁P⊥平面PCE．
试求：
（1）线段D₁P的长；
（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用D₁P⊥平面PCE，确定P的坐标，从而可求线段D₁P的长；
（2）由（1）知，

DE

=(2，1，0)，

D1P

=(

4

5

，

8

5

，0)，

D1P

⊥平面平面PCE，利用向量的夹角公式可求直线DE与平面PEC所成角的正弦值为

4

5

．

解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D₁（0，0，2），E（2，1，0），C（0，2，0）．

设P（x，y，2），则

D1P

=(x，y，0)，

EP

=(x-2，y-1，2)，

EC

=(-2，1，0)
因为D₁P⊥平面PCE，所以D₁P⊥EP，D₁P⊥EC，
所以

x(x-2)+y(y-1)=0 -2x+y=0

，解得

x=0 y=0

（舍去）或

x= 4 5 y= 8 5

 …（4分）
即P（

4

5

，

8

5

，2），所以

D1P

=(

4

5

，

8

5

，0)，所以D1P=

16 25 + 64 25

=

4 5

5

．…（6分）
（2）由（1）知，

DE

=(2，1，0)，

D1P

=(

4

5

，

8

5

，0)，

D1P

⊥平面平面PCE，
设DE与平面PEC所成角为θ，

D1P

与

DE

所成角为α，则sinθ=|cosα|=|

D1P • DE

|D1P||DE|

|=

16 5

5 • 80 25

=

4

5

所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为

4

5

． …（10分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量表示直线与平面所成角，建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．