Question

20．如图，在四棱锥S-ABCD中，已知SD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ADC=$\frac{π}{2}$，SD=DC=2，AD=AB=1，E为棱SB上的一点，且DE⊥SC．
（Ⅰ）求$\frac{SE}{EB}$的值；
（Ⅱ）求直线EC与平面ADE所成角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出$\frac{SE}{EB}$的值．
（Ⅱ）分别求出平面ADE的法向量和$\overrightarrow{EC}$，利用向量法能求出直线EC与平面ADE所成角．

解答 解：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DS为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则各点的坐标为A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），S（0，0，2）．       …（1分）
$\overrightarrow{SC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{SB}$=（1，1，-2），令$\overrightarrow{SE}=λ\overrightarrow{SB}$，
则$\overrightarrow{SE}$=（λ，λ，-2λ），
$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DS}+\overrightarrow{SE}$=（0，0，2）+（λ，λ，-2λ）=（λ，λ，2-2λ），
∵DE⊥SC，∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{SC}$=0，即2λ-2（2-2λ）=0，故$λ=\frac{2}{3}$．
∴$\frac{SE}{EB}$=2．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{EC}$=（-$\frac{2}{3}，\frac{4}{3}，-\frac{2}{3}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面ADE的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1）为平面ADE的法向量，…（7分）
于是cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\frac{2\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（9分）
∴直线EC与平面ADE所成角为$\frac{π}{3}$．…（10分）

点评 本题考查两线段落的比值的求法，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．