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    四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.

    (1)求该四面体的体积的最大值；

    (2)当四面体的体积最大时，求其表面积．

     

    （1）a3（2）a2

    【解析】(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，

    ∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··a≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)．

    ∴该四面体的体积的最大值为a3.

    (2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，

    ∴S表＝2×a2＋2××a×＝a2＋a×＝a2＋＝a2.

     

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