Question

经市场调查分析，某旅游城市在上月内（以30天计算），第t天旅游人数S（万人）与时间t满足：S-4与t成反比，且上月第20天旅游人数为4.05万人，又第t天旅游人均消费M（元）与时间t的关系如图所示．
（I）求该城市上月的旅游日收益y（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（II）求y的最小值；
（Ⅲ）问该城市上月内哪几天旅游日收益不低于481万元？
（注：旅游日收益=日旅游人数×日旅游人均消费）

Answer 1

分析：（I）由题意可设S-4=

k

t

，将t=20，S=4.05代入，求出k，根据图象求出M，从而根据旅游日收益=日旅游人数×日旅游人均消费求出旅游日收益；
（II）当1≤t≤20，t∈N时利用基本不等式进行求最值，当21≤t≤30，t∈N时，利用导数研究函数的最值即可；
（III）根据分段函数的意义可在每一段上建立不等式，解出符合条件的t，问题即可得解．

解答：解：（I）由题意可设S-4=

k

t

，
将t=20，S=4.05代入，得k=1，所以S=

1

t

+4．（2分）
由图象可得M=

100+t  (1≤t≤20，t∈N) 140-t  (21≤t≤30，t∈N).

（4分）
所以旅游日收益y=

(100+t)( 1 t +4)  (1≤t≤20，t∈N) (140-t)( 1 t +4)  (21≤t≤30，t∈N).

=

100 t +4t+401  (1≤t≤20，t∈N) 140 t -4t+559  (21≤t≤30，t∈N).

（II）当1≤t≤20，t∈N时，y=

100

t

+4t+401≥2

100 t •4t

+401=441
当且仅当

100

t

=4t，即t=5时取到等号．（8分）
当21≤t≤30，t∈N时，因为y′=-

140

t2

-4＜0，
所以y=

140

t

-4t+559在21≤t≤30，t∈N是单调递减，
所以当t=30时，ymin=443

2

3

．（10分）
综上可知，上月在第5天旅游日收益的最小值为441元．（11分）
（Ⅲ）当1≤t≤20，t∈N时，由

100

t

+4t+401≥481，得t²-20t+25≥0，
解得t≥10+5

3

或t≤10-5

3

，所以t=19，20，1．（13分）
当21≤t≤30，t∈N时，由

140

t

-4t+559≥481，得2t²-39t-70≤0，
解得

39-4 130

4

≤t≤

39+4 130

4

，所以t=21．（15分）
综上可知，该城市上月第1、19、20、21四个旅游日收益不低于481万元．（16分）

点评：本题主要考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力．