Question

如图，在平面内直线EF与线段AB相交于C点，∠BCF=30°，且AC=CB=4，将此平面沿直线EF折成60°的二面角α-EF-β，BP⊥平面α，
点P为垂足．
（Ⅰ） 求△ACP的面积；
（Ⅱ） 求异面直线AB与EF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，连接BM，则∠BMP为二面角α-EF-β的平面角，由已知中二面角α-EF-β的平面角为60°，结合，∠BCF=30°，且AC=CB=4，求出CP长及sin∠ACP，代入三角形面积公式，即可得到△ACP的面积；
（Ⅱ）过点A作AQ∥EF，交MP于点Q，则∠BAQ是AB与EF所成的角，且AQ⊥平面BMQ，解三角形△BAQ即可得到AB与EF所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ） 如图，在平面α内，过点P作PM⊥EF，点M为垂足，
连接BM，则∠BMP为二面角α-EF-β的平面角．
在Rt△BMC中，由∠BCM=30°，CB=4，得CM=2

3

，BM=2．
在Rt△BMP中，由∠BMP=60°，BM=2，得MP=1．在Rt△CMP中，
由CM=2

3

，MP=1，得CP=

13

，cos∠PCM=

2 3

13

，sin∠PCM=

1

13

．
故 sin∠ACP=sin（150°-∠PCM）=

3 3

2 13

．所以S_△ACP=3

3

．…（7分）
（Ⅱ） 如图，过点A作AQ∥EF，交MP于点Q，
则∠BAQ是AB与EF所成的角，且AQ⊥平面BMQ．
在△BMQ中，由∠BMQ=60°，BM=MQ=2，得BQ=2．…（10分）
在Rt△BAQ中，由AQ=AC•cos30°+CM=4

3

，BQ=2，得tan∠BAQ=

BQ

AQ

=

3

6

．
因此AB与EF所成角的正切值为

3

6

．…（13分）

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，其中（I）的关键是构造出∠BMP为二面角α-EF-β的平面角，进而解三角形求出CP长及sin∠ACP，（II）的关键是构造出∠BAQ是AB与EF所成的角．