Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，等比数列{b_n}的前n项和为T_n，已知数列{b_n}的公比为q（q＞0），a₁=b₁=1，S₅=45，T₃=a₃-b₂．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求

q

a1a2

+

q

a2a3

+…+

q

anan+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则S₅=45可求d，进而可求通项 a_n； 由T₃=a₃-b₂，利用等比数列的通项公式及q＞0，从而可求q进而可求b_n
Ⅱ）

q

anan+1

=

2

anan+1

=

d

2anan+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+1

)，从而可利用裂项求和

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则S₅=5+10d=45．             
解得d=4，所以a_n=4n-3．                 …（4分）
由T₃=a₃-b₂，得1+q+q²=9-q，又q＞0，从而解得q=2，所以b_n=2^n-1．       …（8分）
（Ⅱ）

q

anan+1

=

2

anan+1

=

d

2anan+1

=

1

2

(

1

an

-

1

an+1

)．  …（10分）
所以M=

q

a1a2

+

q

a2a3

+…+

q

anan+1

=

1

2

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

)
=

1

2

(

1

a1

-

1

an+1

)=

1

2

(1-

1

4n+1

)=

2n

4n+1

．                           …（14分）

点评：本题考查了等差与等比数列的综合计算，这是高考在数列部分的最基本是试题类型，裂项求和是数列求和中的重要方法，但要注意裂项时等式右面的系数不是1时是容易出现错误的地方．