Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围；

（2）对于区间上的任意不相等的实数、，都有成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

(1)由得，即与的图象在上有唯一交点. 设,利用导数讨论出函数的单调性，得出答案.
(2) 不妨设，当时，,则在上单调递增，则转化为，即在上单调递减，所以恒成立，当时，即在上单调递增，从而可求答案.

（1）解：由，得，

设，，

则问题等价于与的图象在上有唯一交点，

∵，

∴时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减，

∵，且时，，

∴.

（2）解：，在上单调递增.

不妨设，

当时，,则在上单调递增，

，，

∴可化为，

∴，

设，即，

∵在上单调递减，∴恒成立，

即在上恒成立，

∵，∴，

当时，，，

∴可化为，

∴，

设，即，

∵在上单调递增，∴恒成立，

即在上恒成立.

∴，∴，

综上所述：或.