Question

【题目】如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点，并修建两段直线型道路.规划要求：线段上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.

（1）若道路与桥垂直，求道路的长；

（2）在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）15（百米）；（2）不能，理由见解析

【解析】

（1）作，可求得，从而得到，由可求得结果；

（2）①若在处，线段上的点（除）到点的距离均小于圆的半径，不符合规划要求；②若在处，可得到；利用余弦定理可验证出为锐角，可知上存在点到点的距离小于圆的半径，不符合规划要求；由此可得结论.

（1）过点作，垂足为

由已知条件得：四边形为矩形 ，

道路的长为（百米）

（2）不能，理由如下：

①若在处，由（1）可得在圆上

则线段上的点（除）到点的距离均小于圆的半径

选在处不满足规划要求

②若在处，连接

由（1）知：

为锐角 线段上存在点到点的距离小于圆的半径

选在处也不满足规划要求

综上所述：和均不能选在处