Question

【题目】已知函数有两个不同的零点，.

（1）求a的范围；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）分类讨论参数的范围，利用导数得出单调性，结合函数的零点个数，得出的范围；

（2）不妨设，由（1）可知，，结合函数的单调性，得出等价于，即，构造函数，，求出，即可得出结论.

（1）

当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，且当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，

则函数有两个不同的零点，，

当时，或；

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

结合可知，此时函数只有一个零点

当时，或；

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

结合，可知，此时函数只有一个零点，

当a＝0时，f（x）＝xex只有一个零点x＝0，不合题意；

综上，.

（2）不妨设，由（1）可知，

在上单调递减

等价于，即

由于，而

则

设，，则

则函数在上单调递减，

即，从而