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    【题目】如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B以及CD的中点P处，已知AB=20km，CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD内(含边界)，且与A，B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为km．

    (I)设，将表示成的函数关系式；

    (II)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最短，并求出最短值．

    【答案】（I）（II）污水处理厂的位置为点P位于线段AB的中垂线上且距离处，

    【解析】

    (I)在直角三角形AOQ中,利用AQ=10,可以求得OA和OQ,从而可得OP=10-OQ,

    然后可得,并写上的范围,即可得到.

    (II)利用导数得到函数的单调性,根据单调性可求得函数的最值.

    （I）由条件PQ垂直平分AB，若，则，

    故又,所以,

    所以，

    所求函数关系式为

    （II）,

    令,得 ,,所以,

    当时,,是的减函数,

    当时,, 是的增函数,

    所以当时,,

    此时点位于线段的中垂线上,且距离边处.

    所以三条排污管管道总长最短为

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜ ）．

    （1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；
    （2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：

    若将频率视为概率，回答下列问题：

    (1)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；

    (2)若甲、乙两运动员各自射击1次，表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求的分布列及期望．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

    （1）求频率分布直方图中的值；

    （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

    （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】若函数，且是的导函数，则（ ）

    A. 24 B. -24 C. 10 D. -10

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】（题文）某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

    （1）补全频率分布直方图并求、、的值；

    （2）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】要得到函数f（x）=2sinxcosx，x∈R的图象，只需将函数g（x）=2cos2x﹣1，x∈R的图象（ ）
    A.向左平移 个单位
    B.向右平移 个单位
    C.向左平移 个单位
    D.向右平移 个单位

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．

    （Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

    （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50＋2n单．若将频率视为概率，回答下列问题：

    ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；

    ②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由。

    （参考数据：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

    【答案】（Ⅰ）甲方案的函数关系式为： ，乙方案的函数关系式为：；（Ⅱ）①见解析，②见解析.

    【解析】

    （Ⅰ）由题意可得甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ， 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：.

    （Ⅱ）①由题意求得X的分布列，据此计算可得，，.

    ②答案一：由以上的计算可知，远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

    答案二：由以上的计算结果可以看出，，所以小明应选择乙方案.

    （Ⅰ）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ，

    乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：

    （Ⅱ）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：

    单数

    52

    54

    56

    58

    60

    频率

    0.2

    0.3

    0.2

    0.2

    0.1

    所以的分布列为：

    152

    154

    156

    158

    160

    0.2

    0.3

    0.2

    0.2

    0.1

    所以

    所以的分布列为：

    140

    152

    176

    200

    0.5

    0.2

    0.2

    0.1

    所以

    ②答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

    答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.

    【点睛】

    本题主要考查频率分布直方图，数学期望与方差的含义与实际应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

    【题型】解答题
    【结束】
    20

    【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．

    （Ⅰ）求椭圆C的方程；

    （Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是 （t为参数）
    （1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
    （2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 倍，求a的值．

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