Question

【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．

（Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

（Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50＋2n单．若将频率视为概率，回答下列问题：

①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；

②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由。

（参考数据：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

【答案】（Ⅰ）甲方案的函数关系式为： ，乙方案的函数关系式为：；（Ⅱ）①见解析，②见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意可得甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ， 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：.

（Ⅱ）①由题意求得X的分布列，据此计算可得，，.

②答案一：由以上的计算可知，远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

答案二：由以上的计算结果可以看出，，所以小明应选择乙方案.

（Ⅰ）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ，

乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：

（Ⅱ）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：

单数	52	54	56	58	60
频率	0.2	0.3	0.2	0.2	0.1

所以的分布列为：

	152	154	156	158	160
	0.2	0.3	0.2	0.2	0.1

所以

所以的分布列为：

	140	152	176	200
	0.5	0.2	0.2	0.1

所以

②答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，数学期望与方差的含义与实际应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

【题型】解答题
【结束】
20

【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由题意可求得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，

当直线的斜率不存在或直线的斜率不存在时，.

当直线、的斜率存在时，,设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理计算可得直线的斜率为，直线的斜率为，则.综上可得：直线与的斜率之积为定值.

（Ⅰ）设由题，

解得，则，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，，当直线的斜率不存在时，

设，则，直线的方程为代入，

可得 ，，则,

直线的斜率为，直线的斜率为，

，

当直线的斜率不存在时，同理可得.

当直线、的斜率存在时，设直线的方程为，

则由消去可得：，

又，则，代入上述方程可得:

，，

则 ，

设直线的方程为，同理可得 ，

直线的斜率为

直线的斜率为， .

所以，直线与的斜率之积为定值，即.