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    【题目】已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.

    (1)求M的轨迹方程；

    (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程.

    【答案】(1) M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2 (2) x＋3y－8＝0

    【解析】

    (1)圆C的方程即x2＋(y－4)2＝16，设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).由·＝0可得M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

    (2)由题意结合(1)的结论可得M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.结合几何关系可知，l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.

    (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.

    设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).

    由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

    由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

    (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.

    由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

    因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元．

    （Ⅰ）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；

    （Ⅱ）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（，]（n＝1，2，3，4，5）时，日平均派送量为50＋2n单．若将频率视为概率，回答下列问题：

    ①根据以上数据，设每名派送员的日薪为X（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；

    ②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由。

    （参考数据：0．62＝0．36，1．42＝1．9 6，2．6 2＝6．76，3．42＝1 1．56，3．62＝12．96，4．62＝21．16，15．62＝243．36，20．42＝416．16，44．42＝1971．36）

    【答案】（Ⅰ）甲方案的函数关系式为： ，乙方案的函数关系式为：；（Ⅱ）①见解析，②见解析.

    【解析】

    （Ⅰ）由题意可得甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ， 乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：.

    （Ⅱ）①由题意求得X的分布列，据此计算可得，，.

    ②答案一：由以上的计算可知，远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

    答案二：由以上的计算结果可以看出，，所以小明应选择乙方案.

    （Ⅰ）甲方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为： ，

    乙方案中派送员日薪（单位：元）与送单数的函数关系式为：

    （Ⅱ）①由已知，在这100天中，该公司派送员日平均派送单数满足如下表格：

    单数

    52

    54

    56

    58

    60

    频率

    0.2

    0.3

    0.2

    0.2

    0.1

    所以的分布列为：

    152

    154

    156

    158

    160

    0.2

    0.3

    0.2

    0.2

    0.1

    所以

    所以的分布列为：

    140

    152

    176

    200

    0.5

    0.2

    0.2

    0.1

    所以

    ②答案一：由以上的计算可知，虽然，但两者相差不大，且远小于，即甲方案日工资收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.

    答案二：由以上的计算结果可以看出，，即甲方案日工资期望小于乙方案日工资期望，所以小明应选择乙方案.

    【点睛】

    本题主要考查频率分布直方图，数学期望与方差的含义与实际应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

    【题型】解答题
    【结束】
    20

    【题目】已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，M为椭圆上任意一点，当∠F1MF2＝90°时，△F1MF2的面积为1．

    （Ⅰ）求椭圆C的方程；

    （Ⅱ）已知点A是椭圆C上异于椭圆顶点的一点，延长直线AF1，AF2分别与椭圆交于点B，D，设直线BD的斜率为k1，直线OA的斜率为k2，求证：k1·k2等于定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是 （t为参数）
    （1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；
    （2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 倍，求a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：

    0.050

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    k

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是(　　)

    A. 没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

    B. 有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

    C. 有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

    D. 有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：

    其中=1,2,3,4,5,6,7.

    (1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；

    (2)求线性回归方程；(结果保留到小数点后两位)

    (参考数据：=3 245, =25, =15.43, =5 075)

    (3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数f（x）=2cos2ωx+2 sinωxcosωx﹣1，且f（x）的周期为2．
    （Ⅰ）当 时，求f（x）的最值；
    （Ⅱ）若 ，求 的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数f（x）=x2+alnx．

    （1）若a=﹣1，求函数f（x）的极值，并指出极大值还是极小值；

    （2）若a=1，求函数f（x）在[1，e]上的最值；

    （3）若a=1，求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在g（x）=x3的图象下方．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设x，y满足约束条件 ，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值M，若M的取值范围是[1，2]，则点M（a，b）所经过的区域面积= ．

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