Question

【题目】设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【解析】解：设g（x）= ，则g（x）的导数为：g′（x）= ，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）= 为减函数，
又∵g（﹣x）= = = =g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）= =0，
∴函数g（x）的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式f（x）＞0xg（x）＞0
或 ，
0＜x＜1或x＜﹣1．
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
所以答案是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．