【题目】已知函数f(x)=x2+alnx.
(1)若a=﹣1,求函数f(x)的极值,并指出极大值还是极小值;
(2)若a=1,求函数f(x)在[1,e]上的最值;
(3)若a=1,求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在g(x)=x3的图象下方.
【答案】(1)极小值f(1)=;(2)
e2+1;(3)证明见解析
【解析】
试题分析:(1)代入a=﹣1,从而化简f(x)并求其定义域,再求导判断函数的单调性及极值即可;
(2)代入a=1,从而化简f(x)并求其定义域,再求导判断函数的单调性及求函数的最值;
(3)代入a=1,令F(x)=g(x)﹣f(x)=x3﹣
x2﹣lnx,从而化在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在g(x)=
x3的图象下方为F(x)>0在[1,+∞)上恒成立,再化为函数的最值问题即可.
解:(1)当a=﹣1时,f(x)=x2﹣lnx的定义域为(0,+∞),
f′(x)=x﹣=
;
故f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
故f(x)在x=1处取得极小值f(1)=;
(2)当a=1时,f(x)=x2+lnx的定义域为(0,+∞),
f′(x)=x+>0;
故f(x)在[1,e]上是增函数,
故fmin(x)=f(1)=,fmax(x)=f(e)=
e2+1;
(3)证明:令F(x)=g(x)﹣f(x)=x3﹣
x2﹣lnx;
则F′(x)=2x2﹣x﹣=
,
∵x∈[1,+∞),
∴F′(x)=≥0,
∴F(x)在[1,+∞)上是增函数,
故F(x)≥F(1)=﹣
=
>0;
故在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在g(x)=x3的图象下方.
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【题目】如图,在三棱台ABC﹣A1B1C1中,平面α过点A1 , B1 , 且CC1∥平面α,平面α与三棱台的面相交,交线围成一个四边形.
(Ⅰ)在图中画出这个四边形,并指出是何种四边形(不必说明画法、不必说明四边形的形状);
(Ⅱ)若AB=8,BC=2B1C1=6,AB⊥BC,BB1=CC1 , 平面BB1C1C⊥平面ABC,二面角B1﹣AB﹣C等于60°,求直线AB1与平面α所成角的正弦值.
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【题目】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程.
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【题目】把函数y=cos(2x+φ)(|φ|< )的图象向左平移
个单位,得到函数y=f(x)的图象关于直线x=
对称,则φ的值为( )
A.﹣
B.﹣
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线
的极坐标方程为
,
点的极坐标为
,在平面直角坐标系中,直线
经过点
,斜率为
.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线
的参数方程;
(2)设直线与曲线
相交于
两点,求
的值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,
以x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为.
(1)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M,N,求|PM|+|PN|的取值范围.
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【题目】某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=
C.f(x)=ex
D.f(x)=sinx
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【题目】如图,多面体ABCDS中,面ABCD为矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=1,AB=2,SD= .
(1)求证:CD⊥平面ADS;
(2)求AD与SB所成角的余弦值;
(3)求二面角A﹣SB﹣D的余弦值.
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【题目】椭圆上动点
到两个焦点的距离之和为4,且到右焦点距离的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点为椭圆的上顶点,若直线
与椭圆
交于两点
(
不是上下顶点)
.试问:直线
是否经过某一定点,若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,求面积的最大值.
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