Question

【题目】在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，

以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为.

(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；

(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据直接写出的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；（2）联立的参数方程与曲线的普通方程，消去与，得到关于的一元二次方程，写出关于及的表达式，利用韦达定理及的范围，可探求的取值范围.

试题解析：(1)直线l的参数方程为 (t为参数)．

∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C：x2＋y2＝4x.

(2)直线l的参数方程为 (t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得

t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，

则有∴sin α·cos α>0，又α∈[0，π)，

所以α∈，t1<0，t2<0.

而|PM|＋|PN|＝＋

＝|t1|＋|t2|

＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4sin.

∵α∈，∴α＋∈，∴<sin≤1，

所以|PM|＋|PN|的取值范围为(4,4]．