Question

【题目】已知x=1是 的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数 ，若函数g（x）在区间[1，2]内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为x=1是 的一个极值点，

所以f′（1）=0，解得b=3，经检验，适合题意，所以b=3

定义域为（0，+∞），f′（x）=2﹣ + ＜0，解得x∈（﹣ ，1）

所以函数的单调递减区间为：（0，1]

（2）解： ，

因为函数在[1，2]上单调递增，所以g'（x）≥0恒成立，即 恒成立

所以a≥﹣2x2﹣x，即a≥（﹣2x2﹣x）max

而在[1，2]上（﹣2x2﹣x）max=﹣3

所以a≥﹣3

【解析】（1）求出函数的导数，利用函数的极值点，求解b，然后验证求解函数的单调区间．（2）求出函数的导数，利用函数的单调性求解函数的最值，推出结果即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．