Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥BD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=120°，PA=b，AC与BD交于点O，M为OC的中点．

（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若∠PAC=90°，二面角O﹣PM﹣D的正切值为 ，求a：b的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又PA⊥BD，PA∩AC=A，

所以BD⊥面PAC，

又因为 PD面ABCD，

所以 平面PAC⊥平面ABCD

（2）解：由∠PAC=90°可知PA⊥AC，

又由（1）可知平面PAC⊥平面ABCD

平面PAC∩平面ABCD=AC，

所以 PA⊥平面ABCD，

故如图，

以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，

则P（0，0，b），D（0，a，0），M（ ， ，0），O（ ， ，0）

从而 =（0，a，﹣b）， =（ a， ，﹣b），

=（﹣ ， ，0），

因为BD⊥面PAC，所以平面PMO的一个法向量为 =（﹣ ， ，0），

设平面PMD的法向量为 =（x，y，z），

由 ， ，得

，

令y=b，得x= ，z=a，即 ，

设 与 的夹角为θ，则二面角O﹣PM﹣D的大小与θ相等，

由 ，得

化简得 4b=3a，即a：b=4：3

【解析】（1）推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明平面PAC⊥平面ABCD．（2）以A为坐标原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系，利用利用向量法能求出a：b的值．