Question

【题目】已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足xf′（x）＞f（x），则不等式（x﹣1）f（x+1）＞f（x2﹣1）的解集是 ．

Answer 1

【答案】（1，2）
【解析】解：∵由xf′（x）＞f（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，令F（x）= ，（x＞0），
则F′（x）= ，
∴F′（x）＞0，
∴F（x）为定义域上的增函数，
（x﹣1）f（x+1）＞f（x2﹣1），
由 ，解得：x＞1，
∴ = ，即 ＞ ，
∴F（x+1）＞F（x2﹣1），
∴x+1＞x2﹣1，整理得：x2﹣x﹣2＜0，
解得：﹣1＜x＜2，
综上可知：1＜x＜2，
所以答案是：（1，2）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．