Question

【题目】已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线C相切于点P，过点P作抛物线C的割线PQ，割线PQ与抛物线C的另一交点为Q，A为PQ的中点.过A作y轴的垂线与y轴交于点H，与直线l相交于点N，M为线段AN的中点.

（1）求抛物线C的方程；

（2）在x轴上是否存在一点T，使得当割线PQ变化时，总有为定值？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在点，使得恒为定值1.

【解析】

（1）联立直线与抛物线的方程，结合根的判别式可求出的值；

（2）先算出点，设出点的坐标，算出的中点的坐标，得出点在抛物线上，利用抛物线定义可得为定值1．

（1）由，得，

即①.

依题意，.

解得.

所以抛物线C的方程为.

（2）由，代入①得，解得，

代入切线l得，所以点，

设，则，所以.

依题意，将，代入直线l，

得，

所以AN的中点为，

又，所以，

所以AN的中点M在抛物线C上.

由抛物线的定义可知，当T为抛物线的焦点时，

等于M到抛物线准线的距离，所以.

所以存在点，使得恒为定值1.