Question

10．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，抛物线C₂：y²=4x，过抛物线C₂上一点P（异于原点O）作切线l交椭圆C₁于A，B两点．
（Ⅰ）求切线l在x轴上的截距的取值范围；
（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）设P（t²，2t）（t≠0），设切线的方程为：y-2t=k（x-t²），与抛物线方程联立可得：ky²-4y-4kt²+8t=0，由△=0，解得k=$\frac{1}{t}$．可得切线l的方程为：x=ty-t²，令y=0，可得切线在x轴上的截距．切线方程与椭圆方程联立化为：（3t²+4）y²-6t³y+3t⁴-12=0，令△＞0，解得t的范围即可得出．
（II）由（I）可得：|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$4\sqrt{3}•\sqrt{1+{t}^{2}}$$\sqrt{\frac{-{t}^{4}+3{t}^{2}+4}{（3{t}^{2}+4）^{2}}}$，原点O到切线的距离d=$\frac{{t}^{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，可得S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$2\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{{t}^{4}（-{t}^{4}+3{t}^{2}+4）}{（3{t}^{2}+4）^{2}}}$，令3t²+4=u，通过换元利用函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）设P（t²，2t）（t≠0），设切线的方程为：y-2t=k（x-t²），与抛物线方程联立可得：ky²-4y-4kt²+8t=0，
由△=16-16k（-kt²+2t）=0，解得k=$\frac{1}{t}$．
∴切线l的方程为：x=ty-t²，
令y=0，可得切线在x轴上的截距为-t²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-{t}^{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3t²+4）y²-6t³y+3t⁴-12=0，
令△=36t⁶-12（3t²+4）（t⁴-4）＞0，解得0＜t²＜4，
∴-4＜-t²＜0．
∴切线l在x轴上的截距的取值范围是（-4，0）．
（II）由（I）可得：y₁+y₂=$\frac{6{t}^{3}}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{3{t}^{4}-12}{3{t}^{2}+4}$．
|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$4\sqrt{3}•\sqrt{1+{t}^{2}}$$\sqrt{\frac{-{t}^{4}+3{t}^{2}+4}{（3{t}^{2}+4）^{2}}}$，
原点O到切线的距离d=$\frac{{t}^{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$2\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{{t}^{4}（-{t}^{4}+3{t}^{2}+4）}{（3{t}^{2}+4）^{2}}}$，
令3t²+4=u，∵0＜t²＜4，∴4＜u＜16．
则S=2$\sqrt{3}$$\sqrt{\frac{（u-4）^{2}（-\frac{（u-4）^{2}}{9}+u）}{{u}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$$\sqrt{\frac{（{u}^{2}-8u+16）（-{u}^{2}+17u-16）}{{u}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$$\sqrt{-（u+\frac{16}{u}）^{2}+25（u+\frac{16}{u}）-136}$，
令$y=u+\frac{16}{u}$，4＜u＜16．∴y在（4，16）上单调递增，可得：8＜y＜17．
∴S=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$$\sqrt{-{y}^{2}+25y-136}$，当y=$\frac{25}{2}$∈（8，17）时，S_max=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$$\sqrt{-\frac{625}{4}+\frac{625}{2}-136}$=$\sqrt{3}$．
由$y=u+\frac{16}{u}$=$\frac{25}{2}$，解得u=$\frac{25+3\sqrt{41}}{4}$，有$t=\frac{\sqrt{3+\sqrt{41}}}{2}$＜2，
故当$t=\frac{\sqrt{3+\sqrt{41}}}{2}$时，△AOB面积取得最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、直线与抛物线相切的性质、基本不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．