Question

20．2015年12月10日，我国科学家屠呦呦因发现青蒿素治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度，土壤酸碱度，空气温度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再综合指标ω=x+y+z的值，评定人工种植的青蒿的长势等级，若ω≥4，则长势为一级，若2≤ω≤3，则长势为二级，若0≤ω≤1，则长势为三级，为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如表结果：

种植地编号	A1	A2	A3	A4	A5
（x，y，z）	（0，1，0）	（1，2，1）	（2，1，1）	（2，2，2）	（0，1，1）
种植地编号	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（1，1，2）	（2，1，2）	（2，0，1）	（2，2，1）	（0，2，1）

（1）在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气温度的指标z相同的概率；
（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，共综合指标为n，记随机变量X=m-n，求X的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （1）由表可知：空气湿度指标为0的有A₁，空气湿度指标为1的有A₂，A₃，A₅，A₈，A₉，A₁₀，空气湿度指标为2的有A₄，A₆，A₇，由此能求出这两地的空气温度的指标z相同的概率．
（2）由题意得长势等级是一级（ω≥4）有A₂，A₃，A₄，A₆，A₇，A₉，长势等级不是一级（ω＜4）的有A₁，A₅，A₈，A₁₀，从而随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由表可知：空气湿度指标为0的有A₁，
空气湿度指标为1的有A₂，A₃，A₅，A₈，A₉，A₁₀，
空气湿度指标为2的有A₄，A₆，A₇，
在这10块青蒿人工种植地中任取两地，基本事件总数n=${C}_{10}^{2}$=45，
这两地的空气温度的指标z相同包含的基本事件个数m=${C}_{6}^{2}+{C}_{3}^{2}$=18，
∴这两地的空气温度的指标z相同的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{18}{45}$=$\frac{2}{5}$．
（2）由题意得10块青蒿人工种植的综合指标如下表：

编号	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
综合指标	1	4	4	6	2	4	5	3	5	3

其中长势等级是一级（ω≥4）有A₂，A₃，A₄，A₆，A₇，A₉，共6个，
长势等级不是一级（ω＜4）的有A₁，A₅，A₈，A₁₀，共4个，
随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{24}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

E（X）=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{7}{24}+3×\frac{7}{24}$+$4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{24}$=$\frac{29}{12}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．