Question

如果函数y=x²+（a-1）x+1
（1）在区间[-1，3]上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）在区间[-1，3]上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若函数在区间[-1，3]上为减函数，则y′=2x+a-1≤0在区间[-1，3]上恒成立，解得实数a的取值范围；
（2）若函数在区间[-1，3]上为增函数，则y′=2x+a-1≥0在区间[-1，3]上恒成立，解得实数a的取值范围．

解答： 解：∵函数y=x²+（a-1）x+1，
∴y′=2x+a-1；
（1）若函数在区间[-1，3]上为减函数，
则y′=2x+a-1≤0在区间[-1，3]上恒成立，
则y′|_x=3=a+5≤0，
解得a≤-5．
（2）若函数在区间[-1，3]上为增函数，
则y′=2x+a-1≥0在区间[-1，3]上恒成立，
则y′|_x=-1=a-3≥0，
解得a≥3．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中熟练掌握导数法判断函数单调性的方法是解答的关键．