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已知
m
=(2cosωx,
3
sinωx),
n
=(cosωx,2cosωx)
,(ω>0),f(x)=
m
n
-1
,且f(x)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若在△ABC中,AC=2,BC=2
3
,f(
A
2
)=1,求△ABC的面积.
分析:利用向量的数量积,通过二倍角公式与两角和的正弦函数化简函数的表达式,
(1)直接利用周期公式求出函数的周期,得到函数的解析式.
(2)利用f(
A
2
)=1,求出A的值,结合AC=2,BC=2
3
,利用余弦定理求出c,然后求解三角形的面积.
解答:解:已知
m
=(2cosωx,
3
sinωx),
n
=(cosωx,2cosωx)
,(ω>0),
f(x)=
m
n
-1
=2cos2ωx+2
3
sinωxcosωx-1
=
3
sin2ωx+cos2ωx
=2sin(2ωx+
π
6
),x∈R.
(1)因为函数f(x)的最小正周期为π.所以T=
ω
,ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+
π
6
),x∈R.
(2)因为f(
A
2
)=2sin(2×
A
2
+
π
6
)=1,A∈(0,π).
所以sin(A+
π
6
)=
1
2

π
6
<A+
π
6
6
所以A+
π
6
=
6
A=
3

设a,b,c为△ABC对应三边,则b=2,a=2
3
,A=
3
,因为a2=b2+c2-2bccosA,
即:c2+2c-8=0(c>0),解得c=2,
所以三角形的面积为S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
×2×2×
3
2
=
3
点评:本题考查解答三角形的问题,三角函数的解析式的求法,两角和的正弦函数的应用,余弦定理以及三角形的面积的求法.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A:AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC.
B:在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1).设k为非零实数,矩阵M=
k0
01
,N=
01
10
,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值.
C:在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值.
D:设a、b是非负实数,求证:a3+b3
ab
(a2+b2)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
6
sinθ+
2
cosθ=
1
m
,则m的取值范围是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知M=
3-2
2-2
,a=[4-1],试计算:M10α.
(2)已知圆C的参数方程为
x=
3
+2cosθ
y=2sinθ
(θ为参数),若P是圆C与y轴正半轴的交点,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点P的圆C的切线的极坐标方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

[选做题]本题包括A、B、C、D共4小题,请从这4小题中选做2小题,每小题10分,共20分.
A.如图,AD是∠BAD的角平分线,⊙O过点A且与BC边相切于点D,与AB,AC分别交于E、F两点.求证:EF∥BC.
B.已知M=
.
1-2
3-7
.
,求M-1
C.已知直线l的极坐标方程为θ=
π
4
(ρ∈R),它与曲线C
x=1+2cosα
y=2+2sinα
(α为参数)相较于A、B两点,求AB的长.
D.设函数f(x)=|x-2|+|x+2|,若不等式|a+b|-|4a-b|≤|a|,f(x)对任意a,b∈R,且a≠0恒成立,求实数x的取值范围.

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