Question

（2013•浙江）如图F₁、F₂是椭圆C₁：

x2

4

+y²=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点，若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．

  3

  2

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：不妨设|AF₁|=x，|AF₂|=y，依题意

x+y=4 x2+y2=12

，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C₂的离心率．

解答：解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，∵点A为椭圆C₁：

x2

4

+y²=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=

3

；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，
∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即x²+y²=（2c）²=(2

3

)2=12，②
由①②得：

x+y=4 x2+y2=12

，解得x=2-

2

，y=2+

2

，设双曲线C₂的实轴长为2a，焦距为2c，
则2a=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2

2

，2c=2

22-12

=2

3

，
∴双曲线C₂的离心率e=

c

a

=

3

2

=

6

2

．
故选D．

点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF₁|与|AF₂|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．