Question

（2013•浙江）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=

7

，PA=

3

，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求

PG

GC

 的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．
（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．
（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC=

PA2+AC2

=

15

．由△COG∽△PCA，可得

GC

AC

=

OC

PC

，解得GC的值，可得PG
=PC-GC 的值，从而求得 

PG

GC

的值．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD． 
∵AB=BC=2，AD=CD=

7

，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．
而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．
（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于

1

2

PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，
∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．
由题意可得，GO=

1

2

PA=

3

2

．
△ABC中，由余弦定理可得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+4-2×2×2×cos120°=12，
∴AC=2

3

，OC=

3

．
∵直角三角形COD中，OD=

CD2-CO2

=2，
∴直角三角形GOD中，tan∠DGO=

OD

OG

=

4 3

3

．
（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG?平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC=

PA2+AC2

=

15

．
由△COG∽△PCA，可得

GC

AC

=

OC

PC

，即 

GC

2 3

=

3

15

，解得GC=

2 15

5

，
∴PG=PC-GC=

15

-

2 15

5

=

3 15

5

，∴

PG

GC

=

3 15 5

2 15 5

=

3

2

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．