Question

10．如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD．
（1）证明：AC∥平面BEF；
（2）求平面BEF和平面ABCD所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，推导出四边形OCEM为平行四边形，由此能证明AC∥平面BEF．
法2：以D为原点，DA，DC，DF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明AC∥平面BEF．
（Ⅱ）求出平面BEF的法向量和平面ABCD 的一个法向量，利用向量法能求出平面BEF和平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）证法1：如图，记BF中点为M，AC与BD交点为O，连结MO，ME，
由题设知，CE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DF$，MO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DF$，即CE$\underset{∥}{=}$MO，
∴四边形OCEM为平行四边形，
∴EM∥CO，即EM∥AC，
又AC?平面BFE，EM?平面BFE，
∴AC∥平面BEF．…（6分）
证法2：由题设知，DA，DA，DC两两相互垂直，
如图，以D为原点，DA，DC，DF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），F（0，0，2）．
设平面BEF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，
又$\overrightarrow{BE}=（-2，0，1），\overrightarrow{BF}=（-2，-2，2）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x+z=0}\\{-2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
又$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}$=0，即$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{AC}$，
又AC?平面BEF，
∴AC∥平面BEF．…（6分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
平面ABCD 的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}×\sqrt{1}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
平面BEF和平面ABCD所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．