Question

15．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，AE⊥平面CDE，$AE=DE=\sqrt{6}$，F为线段DE上的一点．
（Ⅰ）求证：平面AED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角E-BC-F与二面角F-BC-D的大小相等，求DF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥面AED，由此能证明平面AED⊥平面ABCD．
（Ⅱ）取AD，BC的中点G，H，连结EG，GH，EH，过F作FM||EG交AD于M，过M作NM||HG交BC于N，连结FN，推导出∠EHG就是二面角E-BC-D的平面角，∠FNM就是二面角F-BC-D的平面角，由此能求出DF的长．

解答 证明：（Ⅰ）∵AE⊥面CDE，CD?面CDE，
∴AE⊥CD，
又∴$λ=3-\sqrt{6}$是矩形，
∴AD⊥CD，∴CD⊥面AED，
又∵CD?面ABCD，
∴平面AED⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）取AD，BC的中点G，H，
连结EG，GH，EH，过F作FM||EG交AD于M，
过M作NM||HG交BC于N，连结FN，
∵$AE=DE=\sqrt{6}$，∴$EG=\sqrt{3}$且EG⊥AD，
∵平面AED⊥平面ABCD，∴EG⊥面ABCD，GH⊥BC，
∴EH⊥BC，∴∠EHG就是二面角E-BC-D的平面角，
同理∠FNM就是二面角F-BC-D的平面角，
由题意得∠EHG=2∠FNM，
而 $tan∠EHG=\frac{EG}{GH}=\sqrt{3}$，
∴$tan∠FNM=\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{FM}{MN}=\frac{FM}{1}$，
∴$FM=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$DF=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．