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(2012•重庆)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,-π<φ≤π)在x=
π
6
处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为
π
2

(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数g(x)=
6cos4x-sin2x-1
f(x+
π
6
)
的值域.
分析:(Ⅰ)通过函数的周期求出ω,求出A,利用函数经过的特殊点求出φ,推出f(x)的解析式;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)推出函数g(x)=
6cos4x-sin2x-1
f(x+
π
6
)
的表达式,通过cos2x∈[0,1],且cos2x≠
1
2
,求出g(x)的值域.
解答:解:(Ⅰ)由题意可知f(x)的周期为T=π,即
ω
=π,解得ω=2.
因此f(x)在x=
π
6
处取得最大值2,所以A=2,从而sin(
π
6
)=1,
所以
π
3
+φ=
π
2
+2kπ  ,k∈z
,又-π<φ≤π,得φ=
π
6

故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+
π
6
);
(Ⅱ)函数g(x)=
6cos4x-sin2x-1
f(x+
π
6
)

=
6cos4x-sin2x-1
2sin(2x+
π
2
)

=
6cos4x-sin2x-1
2cos2x

=
6cos4x-sin2x-1
2(2cos2x -1)

=
6cos4x+cos2x-2
2(2cos2x -1)

=
(3cos2x+2)(2cos2x-1)
2(2cos2x -1)

=
3
2
cos2x+1
  (cos2x≠
1
2
)

因为cos2x∈[0,1],且cos2x≠
1
2

故g(x)的值域为[1,
7
4
)∪(
7
4
5
2
]
点评:本题考查三角函数中的恒等变换应用,由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查计算能力.
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1
2x
+
3
2
x+1
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6
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2
π
2
]
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