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(2012•重庆)设f(x)=alnx+
1
2x
+
3
2
x+1
,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
(Ⅰ) 求a的值;
(Ⅱ) 求函数f(x)的极值.
分析:(Ⅰ) 求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴,可得f′(1)=0,从而可求a的值;
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,f(x)=-lnx+
1
2x
+
3
2
x+1
(x>0),f′(x)=
-1
x
-
1
2x2
+
3
2
=
(3x+1)(x-1)
2x2
,确定函数的单调性,即可求得函数f(x)的极值.
解答:解:(Ⅰ) 求导函数可得f′(x)=
a
x
-
1
2x2
+
3
2

∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.
∴f′(1)=0,∴a-
1
2
+
3
2
=0

∴a=-1;
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,f(x)=-lnx+
1
2x
+
3
2
x+1
(x>0)
f′(x)=
-1
x
-
1
2x2
+
3
2
=
(3x+1)(x-1)
2x2

令f′(x)=0,可得x=1或x=-
1
3
(舍去)
∵0<x<1时,f′(x)<0,函数递减;x>1时,f′(x)>0,函数递增
∴x=1时,函数f(x)取得极小值为3.
点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,函数的单调性与极值,正确求导是关键.
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1
x
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π
6
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π
2

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6cos4x-sin2x-1
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π
6
)
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π
6
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2
π
2
]
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