Question

9．设f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$+x³${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，则${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 对式子求定积分可得关于${∫}_{0}^{1}$f（x）dx的方程，解出即可

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$+x³${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴${∫}_{\;}^{\;}$f（x）dx=arctanx+$\frac{{x}^{4}}{4}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx+C，
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=arctan1+$\frac{1}{4}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx-arctan0=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{4}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx，
∴$\frac{3}{4}$${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{4}$
∴${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=$\frac{π}{3}$．
故答案为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了定积分的运算，是基础题．