Question

【题目】已知方程（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0与点P（－2，2）.

（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

（2）证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；直线经过的定点为M（2，－2）（2）证明见解析

【解析】

（1）变形得到2x－y－6＋λ（x－y－4）＝0，得到方程计算得到答案.

（2）易知≤|PM|=，当与直线垂直时，直线方程为x－y－4＝0.，而直线系不能表示此直线，故得证.

（1）解显然2＋λ与－（1＋λ）不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线.

∵方程可变形为2x－y－6＋λ（x－y－4）＝0，∴ 解得

故直线经过的定点为M（2，－2）.

（2）证明：易知≤|PM|=，当且仅当与直线垂直时，等号成立

此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴<，故所证成立.