Question

在等比数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n．若数列{S_n+

1

2

}也是等比数列，则S_n等于

1

2

(3n-1)

．

Answer 1

分析：分类讨论，利用等比数列的求和公式，确定数列的通项，利用数列{S_n+

1

2

}是等比数列，求出公比，即可求得结论．

解答：解：当公比为1时，S_n=n，数列{S_n+

1

2

}为数列{n+

1

2

}为公差为1的等差数列，不满足题意；
当公比不为1时，S_n=

1-qn

1-q

，∴S_n+

1

2

=

1-qn

1-q

+

1

2

，S_n+1+

1

2

=

1-qn+1

1-q

+

1

2

∴

Sn+1+ 1 2

Sn+ 1 2

=

2qn+1+q-3

2qn+q-3

=

q(2qn+q-3)-q2+4q-3

2qn+q-3

=q+

-q2+4q-3

2qn+q-3

∵数列{S_n+

1

2

}是等比数列
∴-q²+4q-3=0
∵q≠1，∴q=3
∴S_n=

1-qn

1-q

=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)
故答案为：

1

2

(3n-1)

点评：本题考查等比数列的求和公式，考查等比数列的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．