【题目】已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈(﹣ ,
)
(1)当a= ,θ=
时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f( )=0,f(π)=1,求a,θ的值.
【答案】
(1)解:当a= ,θ=
时,f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ)
=sin(x+ )+
cos(x+
)=
sinx+
cosx﹣
sinx=﹣
sinx+
cosx
=sin( ﹣x)=﹣sin(x﹣
).
∵x∈[0,π],∴x﹣ ∈[﹣
,
],
∴sin(x﹣ )∈[﹣
,1],
∴﹣sin(x﹣ )∈[﹣1,
],
故f(x)在区间[0,π]上的最小值为﹣1,最大值为
(2)解:∵f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),a∈R,θ∈(﹣ ,
),
f( )=0,f(π)=1,
∴cosθ﹣asin2θ=0 ①,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②,
由①求得sinθ= ,由②可得cos2θ=
=﹣
﹣
.
再根据cos2θ=1﹣2sin2θ,可得﹣ ﹣
=1﹣2×
,
求得 a=﹣1,∴sinθ=﹣ ,θ=﹣
.
综上可得,所求的a=﹣1,θ=﹣
【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f(x)=﹣sin(x﹣ ),再根据x∈[0,π],利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值.(2)由条件可得θ∈(﹣
,
),cosθ﹣asin2θ=0 ①,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ②,由这两个式子求出a和θ的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的余弦公式的相关知识,掌握两角和与差的余弦公式:,以及对两角和与差的正弦公式的理解,了解两角和与差的正弦公式:
.
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【题目】从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分别直方图.
(1)求这100份数学试卷成绩的中位数;
(2)从总分在和
的试卷中随机抽取2份试卷,求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率.
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【题目】下列有关命题的说法正确的是( )
A. “若x>1,则2x>1”的否命题为真命题
B. “若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题
C. “若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题
D. 命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0
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【题目】如图,已知双曲线C: ﹣y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0 , y0)(y0≠0)的直线l: ﹣y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=
相交于点N.证明:当点P在C上移动时,
恒为定值,并求此定值.
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【题目】如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO= .
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
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【题目】某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和
.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.
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【题目】某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为轮船的最大速度为15海里
小时
当船速为10海里
小时,它的燃料费是每小时96元,其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元
假定运行过程中轮船以速度v匀速航行.
求k的值;
求该轮船航行100海里的总费用
燃料费
航行运作费用
的最小值.
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