Question

【题目】已知函数.

（1）当且时，证明.

（2）令，若时，恒成立，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）先将所证不等式转化成，再令

，求出导数，然后求出的极小值，若极小值大于或等于0即证.

（2）求得的导数，令，求出单调区间和最值，讨论

①当当即时，

②当即时，求出单调性，以及最小值，解不等式即可得到的取值范围.

详解：

（1）等价于，

即．

∵，∴等价于．

令，

则．

∵，∴．

当时，，单减；

当时，，单增．

∴在处有极小值，即最小值，

∴，

∴且时，不等式成立．

（2）∵，∴．

令，∴，

当时，，∴在上单增，

∴．

当即时，恒成立，即，∴在

上单增，

∴，所以．

当即时，∵在上单增，

且，

当时，，

∴，使，即．

当时，，即单减；

当时，，即单增．

∴，

∴，由，∴，

记，∴，∴在上单调 递增，∴，∴，综上，．