【题目】如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.
(1)求证:C1M∥平面A1ADD1;
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1= ,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
【答案】
(1)解:连接AD1,∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱,∴CD C1D1,
又M为AB的中点,∴AM=1.
∴CD∥AM,CD=AM,
∴AM C1D1,
∴AMC1D1为平行四边形,∴AD1∥MC1,又MC1平面A1ADD1,AD1平面A1ADD1,
∴C1M∥平面A1ADD1;
(2)解:解法一:∵AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,
∴面D1C1M与ABC1D1共面,
作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角,
在ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,
∴CN= ,
在Rt△D1CN中,CD1= ,CN=
,
∴D1N=
∴cos∠D1CN= =
=
解法二:作CP⊥AB于P,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间坐标系
则C1(﹣1,0, ),D1,(0,0,
),M(
,
,0),
∴ =(1,0,0),
=(
,
,﹣
),
设平面C1D1M的法向量 =(x1,y1,z1),
则 ,∴
=(0,2,1).
显然平面ABCD的法向量 =(0,0,1),
cos< ,
>|=
=
=
,
显然二面角为锐角,
∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为 .
【解析】(1)连接AD1 , 易证AMC1D1为平行四边形,利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1;(2)作CP⊥AB于P,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间坐标系,易求C1(﹣1,0, ),D1 , (0,0,
),M(
,
,0),
=(1,1,0),
=(
,
,﹣
),设平面C1D1M的法向量
=(x1 , y1 , z1),可求得
=(0,2,1),而平面ABCD的法向量
=(1,0,0),从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行.
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【题目】为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 18
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【题目】如图,曲线C由上半椭圆C1: =1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为
.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1 , C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
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【题目】已知,
,且f(x)=
.
(1)求函数f(x)的解析式;最小正周期及单调递增区间.
(2)当时,f(x)的最小值是-4,求此时函数f(x)的最大值,并求出相应的x的值.
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【题目】现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资10万元,一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概率都是p(0<p<1),设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X,对乙项目每投资10万元,X取0、1、2时,一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.
(1)求X1,X2的概率分布和均值E(X1),E(X2);
(2)当E(X1)<E(X2)时,求p的取值范围.
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【题目】已知函数是
上的增函数.当实数
取最大值时,若存在点
,使得过点
的直线与曲线
围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面积总相等,则点
的坐标为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,已知双曲线C: ﹣y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0 , y0)(y0≠0)的直线l: ﹣y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=
相交于点N.证明:当点P在C上移动时,
恒为定值,并求此定值.
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