Question

【题目】设，函数，函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】分析：（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）令，利用导数研究函数的单调性，可得当时，关于的不等式不能恒成立，当时，函数的最大值为，因为，又易知在是减函数,所以当时，,从而可得结果.

详解：（1）函数的定义域是，，

当时，，所以在区间上为减函数，

当时，令，则，当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

所以当时，在区间上为减函数；当时，在区间上为减函数，在区间为增函数.

（2）令，

所以

当时，因为，所以，

所以在上是增函数，又因为

所以关于的不等式不能恒成立

当时，

令，得

当时，；当时，

因此函数在是增函数，在是减函数.

故函数的最大值为

令（），因为，

又易知在是减函数

所以当时，

所以整数的最小值为2.