Question

已知向量

a

=（2，1），

b

=（x，y）
（Ⅰ）若x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，2}，求向量

a

⊥

b

的概率；
（Ⅱ）若用计算机产生的随机二元数组（x，y）构成区域Ω：

-1＜x＜1 -2＜y＜2

，求二元数组（x，y）满足x²+y²≥1的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）本问为古典概型，需列出所有的基本事件，以及满足向量

a

⊥

b

的基本事件，再由古典概型的概率计算公式求出即可；
（Ⅱ）本问是一个几何概型，试验发生包含的事件对应的集合是Ω={（x，y）|-1＜x＜1，-2＜y＜2}，
满足条件的事件对应的集合是A={（x，y）|-1＜x＜1，-2＜y＜2，x²+y²≥1}，做出两个集合对应的图形的面积，根据几何概型概率公式得到结果．

解答： 解：（Ⅰ）从x∈{-1，0，1}，y∈{-2，-1，2}取两个数x，y的基本事件有
（-1，-2），（-1，-1），（-1，2），
（0，-2），（0，-1），（0，2），
（1，-2），（1，-1），（1，2），共9种 
设“向量

a

⊥

b

”为事件A
若向量

a

⊥

b

，则2x+y=0，
∴事件A包含的基本事件有（-1，2），（1，2），共2种
∴所求事件的概率为P(A)=

2

9

；
（Ⅱ）二元数组（x，y）构成区域Ω={（x，y）|-1＜x＜1，-2＜y＜2}，
设“二元数组（x，y）满足x²+y²≥1”为事件B，
则事件B={（x，y）|-1＜x＜1，-2＜y＜2，x²+y²≥1}，
如图所示，
∴所求事件的概率为P(B)=1-

π×12

2×4

=1-

π

8

．

点评：本题主要考查古典概型以及几何概型，对于古典概型的问题，一般要列出所有的事件，以及所求事件包含的事件，再由古典概型计算公式即可得到结果．对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．