Question

5．数列{a_n}的前几项和为S_n，满足（2t+3）（S_n+1-1）=（3t+4）S_n，a₁=1，其中t＞0
（1）若t为常数，证明：数列{a_n}为等比数列；
（2）若t为变量，记数列{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=f（b_n），求b₂，b₃，试判定b_n与$\sqrt{2}$的大小，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的定义，证明$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{3t+4}{2t+3}$，即可证明数列{a_n}为等比数列；
（2）猜想：b_n＞$\sqrt{2}$，用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）当n=1时，${a_2}=\frac{3t+4}{2t+3}$
当n≥2时，（2t+3）（s_n-1）=（3t+4）s_n-1①（2t+3）（s_n+1-1）=（3t+4）s_n②
②-①得：（2t+3）a_n+1=（3t+4）a_n
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{3t+4}{2t+3}$（n≥2）---------4分
又   $\frac{a_2}{a_1}=\frac{3t+4}{2t+3}$
故{a_n}是等比数列---------------6分
（2）${b_{n+1}}=\frac{{3{b_n}+4}}{{2{b_n}+3}}$${b_2}=\frac{10}{7}，{b_3}=\frac{58}{41}$
猜想：b_n＞$\sqrt{2}$------------8分
下面用数学归纳法证明：
①当n=1，b₁=2，则b₁＞$\sqrt{2}$成立
②假设当n=k时，b_k＞$\sqrt{2}$
当n=k+1时，${b_{k+1}}=\frac{{3{b_k}+4}}{{2{b_k}+3}}$${b_{k+1}}-\sqrt{2}=\frac{{3{b_k}+4}}{{2{b_k}+3}}-\sqrt{2}$=$\frac{{（{3-2\sqrt{2}}）{b_k}+（{4-3\sqrt{2}}）}}{{2{b_k}+3}}$=$\frac{{（{3-2\sqrt{2}}）（{{b_k}-\sqrt{2}}）}}{{2{b_k}+3}}$＞0${b_{k+1}}≥\sqrt{2}$，即 n=k+1，结论也成立
由①②知：b_n＞$\sqrt{2}$----------12分．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．