Question

10．有下列说法：
①已知α为第二象限角，则$\frac{α}{2}$为第一或第三象限角；
②已知λ为实数，$\overrightarrow a$为平面内任一向量，则$λ\overrightarrow a$的模为$λ|{\overrightarrow a}|$；
③△ABC中，若tanA•tanC＞1，则△ABC为锐角三角形；
④已知O为△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，则点O是△ABC的重心．则正确的序号是①③．

Answer 1

分析 对四个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①∵角α的终边在第二象限，∴2kπ+$\frac{π}{2}$＜α＜2kπ+π，k∈Z，∴kπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{α}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，
当k为偶数时，2nπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{α}{2}$＜2nπ+$\frac{π}{2}$，n∈Z，得$\frac{α}{2}$是第一象限角；当k为奇数时，（2n+1）π+$\frac{π}{4}$＜$\frac{α}{2}$＜（2n+1）π+$\frac{π}{2}$，n∈Z，得$\frac{α}{2}$是第三象限角，故正确；
②已知λ为实数，$\overrightarrow a$为平面内任一向量，则$λ\overrightarrow a$的模为|$λ|{\overrightarrow a}|$|，故不正确；
③△ABC中，若tanA•tanC＞1，则cos（A+C）＜0，∴B为锐角，tanA•tanC＞1，∴A，C为锐角，∴△ABC为锐角三角形，故正确；
④已知O为△ABC所在平面内一点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，则点O是△ABC的垂心，故不正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．