Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=

p

2

于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
（Ⅰ）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l₂交直线l₁于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x₁值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A的坐标，可得切线AD的方程，从而可得D、Q的坐标，进而可得|FQ|=|FA|，即△AFQ为等腰三角形，且D为AQ的中点，利用|DF|=2，∠AFD=60°，即可求抛物线方程；
（II）求出B处的切线方程，与切线AD的方程联立，可得P的坐标，求出M，N的坐标，可得△PMN面积，设AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，化简面积表达式，再利用导数的方法，可求面积的最小值，从而可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），则切线AD的方程为y=

x1

p

x-

x 2 1

2p

，所以D（

x1

2

，0），Q（0，-y₁）
∴|FQ|=

p

2

+y1，|FA|=

p

2

+y1，∴|FQ|=|FA|，∴△AFQ为等腰三角形，且D为AQ的中点
∴DF⊥AQ
∵|DF|=2，∠AFD=60°
∴∠QFD=60°，

p

2

=1
∴p=2
∴抛物线方程为x²=4y；
（II）解：设B（x₂，y₂）（x₂＜0），则B处的切线方程为y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，与y=

x1

2

x-

x 2 1

4

联立，可得P（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）
由

y= x1 2 x- x 2 1 4 y=1

，可得M（

x1

2

+

2

x1

，1）
同理N（

x2

2

+

2

x2

，1），所以面积S=

1

2

[（

x1

2

+

2

x1

）-（

x2

2

+

2

x2

）]（1-

x1x2

4

）=

(x2-x1)(4-x1x2)2

16x1x2

…①
设AB的方程为y=kx+b，则b＞0
由

y=kx+b x2=4y

，消去y可得x²-4kx-4b=0，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b代入①得：
S=

16k2+16b (4+4b)2

64b

=

(1+b)2 k2+b

b

，要使面积最小，则k=0得到S=

(1+b)2 b

b

②
令

b

=t，②得S（t）=

(1+t2)2

t

=t3+2t+

1

t

，S′（t）=

(3t2-1)(t2+1)

t2

，
所以当t∈（0，

3

3

）时，S（t）单调递减；当t∈（

3

3

，+∞）时，S（t）单调递增，
所以当t=

3

3

时，S取到最小值为

16 3

9

，此时b=t2=

1

3

，k=0，
所以y1=

1

3

，x1=

2 3

3

．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．