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    已知二次函数f（x）=x2+x的定义域D 恰是不等式 f（-x）+f（x）≤2|x|的解集，其值域为A．函数 g(x)=x3-3tx+
    1
    2
    t    的定义域为[0，1]，值域为B．
    （1）求f （x） 的定义域D和值域 A；
    （2）（理） 试用函数单调性的定义解决下列问题：若存在实数x0∈（0，1），使得函数 g(x)=x3-3tx+
    1
    2
    t    在[0，x0]上单调递减，在[x0，1]上单调递增，求实数t的取值范围并用t表示x0．
    （3）（理） 是否存在实数t，使得A⊆B成立？若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （4）（文） 是否存在负实数t，使得A⊆B成立？若存在，求负实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （5）（文） 若函数g(x)=x3-3tx+
    1
    2
    t    在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．
    分析：（1）由f（-x）+f（x）=2x2≤2|x|的解集为为[-1，1]可求函数定义域D结合二次函数的性质可求，值域A
    （2）（理）在[0，x0]上任取x1，x2，且x1＜x2，则g（x1）＞g（x2）可得3t＞x12+x22+x1x2≥3x02 同理 由在[x0，1]上单调递增得3t≤3x02则 3t=3x02由x0∈（0，1）可求t的范围
    （3）（理） 由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g（x）的单调性
    ①当 t≤0时，函数 g（x）=x3-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，可求B，进而可求t的范围
    ②当 0＜t＜1 时，函数 g（x）的减区间为：[0，
    		t
    ]    ；g（x）的增区间为：[
    		t
    ，1]．
    g（x）在 x=达到最小值．③当t≥1时，函数 g（x） 在区间[0，1]单调递减可求t的范围
    （4）（文） 即（3）（理） ①当 t≤0时，函数 g（x）=x3-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，可求B，进而可求t的范围
    （5）（文） 类比 （2）（理）在[0，x0]上任取x1，x2，且x1＜x2，则g（x1）＞g（x2）可得3t＞x12+x22+x1x2≥3x02 同理 由在[x0，1]上单调递增得3t≤3x02则 3t=3x02由x0∈（0，1）可求t的范围
    解答：解：（1）∵f（-x）+f（x）=2x2≤2|x|的解集为为[-1，1]
    函数定义域D=[-1，1]值域 A=[-
    1
    4
    ，2]    …（4分）
    （2）（理）在[0，x0]上任取x1，x2，且x1＜x2，则g（x1）＞g（x2）
    ∴x13-3tx1+
    1
    2
    ＞  x23-3tx2+
    1
    2

    ∴3t＞x12+x22+x1x2≥3x02                         …（6分）
    同理 由在[x0，1]上单调递增得3t≤3x02
    所以 3t=3x02由x0∈（0，1）得t∈（0，1）…（10分）
    （3）（理） 由（2）的单调性分析同理可得 t 的不同取值，函数g（x）的单调性
     ①当 t≤0时，函数 g（x）=x3-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，∴B=[，1-
    5
    2
    t    ]，
    ∴
    t
    2
    ≤-
    1
    4
    且2≤1-
    5
    2
    t，解得t≤-
    1
    2
    ，…（13分）
      ②当 0＜t＜1 时，函数 g（x）的减区间为：[0，
    		t
    ]    ；g（x）的增区间为：[
    		t
    ，1]．
    g（x）在 x=达到最小值．g(0)≥2或g(1)≥2；且g(
    		t
    )≤-
    1
    4
    此与0＜t＜1矛盾．          …（15分）
      ③当t≥1时，函数 g（x） 在区间[0，1]单调递减，∴B=[1-
    5
    2
    t，
    t
    2
    ]
    ∴
    t
    2
    ≥2且1-
    5
    2
    t≤-
    1
    4
    ，即t≥4
    综上所述：t的取值范围是：(-∞，-
    1
    2
    ]∪[4，+∞)    …（18分）
    （4）（文）  即（3）（理）①
      当 t≤0时，函数 g（x）=x3-3tx+在 x∈[0，1]单调递增，∴B=[，1-
    5
    2
    t    ]，
    ∴
    t
    2
    ≤-
    1
    4
    且2≤1-
    5
    2
    t，解得t≤-
    1
    2
    ，（10分）
    （5）（文） 类比 （2）（理）  得t≥1                                     …（18分）
    点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法，及二次函数闭区间上的最值的求解，函数的单调性的应用，解答本题要求考生具备较强的逻辑推理的能力及计算的能力．
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    f(x)x-1
    ．
    （1）求a的值；
    （2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点；
    （3）若m=1，且x＞0，求证：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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