Question

【题目】已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）12x﹣y﹣17＝0（2）（﹣3，﹣2）

【解析】

（1）将x＝2分别代入原函数解析式和导函数解析式，求出切点坐标和切线斜率，由点斜式可得曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（2）若关于x的方程f（x）+m＝0有三个不同的实根，则﹣m值在函数两个极值之间，利用导数法求出函数的两个极值，可得答案．

解：（1）当x＝2时，f（2）＝7

故切点坐标为（2，7）

又∵f′（x）＝6x2﹣6x．

∴f′（2）＝12

即切线的斜率k＝12

故曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7＝12（x﹣2）

即12x﹣y﹣17＝0

（2）令f′（x）＝6x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝1

当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，

故当x＝0时，函数f（x）取极大值3，

当x＝1时，函数f（x）取极小值2，

若关于x的方程f（x）+m＝0有三个不同的实根，则2＜﹣m＜3，即﹣3＜m＜﹣2

故实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）