【题目】已知椭圆:
的左,右焦点分别为
,
,离心率为
,
是椭圆
上的动点,当
时,
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点的直线交椭圆
于
,
两点,求
面积的最大值.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】试题分析:(1)设椭圆的半焦距为
,根据离心率和在
中余弦定理,列出方程,求得
,即可得到椭圆的方程;
(2)设直线的方程为
,联立方程组,求得则
,利用弦长公式求得
,在由点到直线的距离公式,求得点
到直线
的距离为
,即可得到三角形面积的表达,再利用基本不等式,即可求解面积的最大值.
试题解析:
(1)设椭圆的半焦距为
,
因为椭圆的离心率为
,
所以.①
在中,
,由余弦定理,
得,
得,
得,
即,
所以.
因为的面积
,
所以,即
.②
又,③
由①②③,解得,
,
.
所以椭圆的标准方程为
.
(2)设直线的方程为
,
,
,
联立
得,
由,得
.
则,
.
由弦长公式,得
.
又点到直线
的距离为
,
所以
.
令,则
.
所以
,
当且仅当,即
,
时取等号.
所以面积的最大值为
.
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【题目】有次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业,其用氧量包含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟米,每分钟的用氧量为
升;②水底作业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟
米,每分钟用氧量为0.2升;设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为
升;
(1)将表示为
的函数;
(2)若,求总用氧量
的取值范围.
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【题目】己知函数
(1)若,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数
在
上的图象.
(2)若偶函数,求
:
(3)在(2)的前提下,将函数的图象向右平移
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的
倍,纵坐标不变,再向上平移一个单位得到函数
的图象,求
的对称中心.
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【题目】已知函数f(x)φ)﹣cos(ωx+φ)(
),x=0和x
是函数的y=f(x)图象的两条相邻对称轴.
(1)求f()的值;
(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将所得的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)的单调区间,并求其在[
]上的值域.
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【题目】已知圆的圆心在直线
.
(1)若圆与
轴的正半轴相切,且该圆截
轴所得弦的长为
,求圆
的标准方程;
(2)在(1)的条件下,直线与圆
交于两点
,
,若以
为直径的圆过坐标原点
,求实数
的值;
(3)已知点,圆
的半径为3,且圆心
在第一象限,若圆
上存在点
,使
(
为坐标原点),求圆心
的纵坐标的取值范围.
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