【题目】已知圆的圆心在直线
.
(1)若圆与
轴的正半轴相切,且该圆截
轴所得弦的长为
,求圆
的标准方程;
(2)在(1)的条件下,直线与圆
交于两点
,
,若以
为直径的圆过坐标原点
,求实数
的值;
(3)已知点,圆
的半径为3,且圆心
在第一象限,若圆
上存在点
,使
(
为坐标原点),求圆心
的纵坐标的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)设出圆心坐标,根据圆与
轴正半轴相切以及该圆截
轴所得弦的长,求得圆
的圆心和半径,由此求得圆
的方程.
(2)联立直线的方程和圆
的方程,写出判别式和韦达定理,结合圆的几何性质有
,化简此方程求得
的值.
(3)设,根据
求得
的轨迹方程,将问题转化为两个圆有公共点的问题来求解出圆心
的纵坐标的取值范围.
(1)因为圆的圆心在直线
上,所以可设圆心为
.
因为圆与
轴的正半轴相切,所以
,半径
.
又因为该圆截轴所得弦的长为
,
所以,解得
.
因此,圆心为,半径
.
所以圆的标准方程为
.
(2)由消去
,得
.
整理得. (★)
由,得
, (※)
设,
,则
,
,
因为以为直径的圆过原点
,可知
,
的斜率都存在,且
,
整理得,即
.
化简得,即
.
整理得.解得
.
当时,
,
. ③
由③,得,从而
,
可见,时满足不等式(※).
均符合要求.
(3)圆的半径为3,设圆
的圆心为
,
由题意,,则圆
的方程为
.
又因为,
,
设点的坐标为
,则
,
整理得.
它表示以为圆心,2为半径的圆,记为圆
.
由题意可知,点既在圆
上又在圆
上,即圆
和圆
有公共点.
所以,且
.
即,且
.
所以,即
,解得
.
所以圆心的纵坐标的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的左,右焦点分别为
,
,离心率为
,
是椭圆
上的动点,当
时,
的面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点的直线交椭圆
于
,
两点,求
面积的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设递增数列共有
项,定义集合
,将集合
中的数按从小到大排列得到数列
;
(1)若数列共有4项,分别为
,
,
,
,写出数列
的各项的值;
(2)设是公比为2的等比数列,且
,若数列
的所有项的和为4088,求
和
的值;
(3)若,求证:
为等差数列的充要条件是数列
恰有7项;
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】双曲线
的左、右焦点分别为
,过
作倾斜角为
的直线与
轴和双曲线的右支分别交于
两点,若点
平分线段
,则该双曲线的离心率是( )
A. B.
C. 2 D.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时,则视为合格品,否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品。计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm), 将所得数据分组,得到如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
[-3, -2) |
| 0.10 |
[-2, -1) | 8 |
|
(1,2] |
| 0.50 |
(2,3] | 10 |
|
(3,4] |
|
|
合计 | 50 | 1.00 |
(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置;
(Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率;
(Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥将河两岸的路连接起来,剖面设计图纸如下:
其中,点为
轴上关于原点对称的两点,曲线段
是桥的主体,
为桥顶,且曲线段
在图纸上的图形对应函数的解析式为
,曲线段
均为开口向上的抛物线段,且
分别为两抛物线的顶点,设计时要求:保持两曲线在各衔接处(
)的切线的斜率相等.
(1)求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域;
(2)车辆从经
倒
爬坡,定义车辆上桥过程中某点
所需要的爬坡能力为:
(该点
与桥顶间的水平距离)
(设计图纸上该点处的切线的斜率),其中
的单位:米.若该景区可提供三种类型的观光车:①游客踏乘;②蓄电池动力;③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为
米,
米,
米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度
米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com