Question

设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=

π

3

，acosA=bcosB．
（1）求角A的大小；
（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算,正弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=

π

2

，结合C=

π

3

，可求角A的大小；
（2）求出PM，PN．可得PM+PN=2sinα+2sin （α+

π

3

）=3sinα+

3

cosα=2

3

sin（α+

π

6

），即可求PM+PN的最大值及此时α的取值．

解答： 解：（1）由acosA=bcosB及正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，
即sin2A=sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），
所以有A=B或A+B=

π

2

．          …3分
又因为C=

π

3

，得A+B=

2π

3

，与A+B=

π

2

矛盾，
所以A=B，因此A=

π

3

．    …6分
（2）由题设，得
在Rt△PMC中，PM=PC•sin∠PCM=2sinα；
在Rt△PNC中，PN=PC•sin∠PCN=PC•sin（π-∠PCB）
=2sin[π-（α+

π

3

）]=2sin （α+

π

3

），α∈（0，

2π

3

）．…8分
所以，PM+PN=2sinα+2sin （α+

π

3

）=3sinα+

3

cosα=2

3

sin（α+

π

6

）．…12分
因为α∈（0，

2π

3

），所以α+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），从而有sin（α+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
即2

3

sin（α+

π

6

）∈（

3

，2

3

]．
于是，当α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

3

时，PM+PN取得最大值2

3

．…16分．

点评：本题考查三角形中的几何计算，考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，确定PM+PN是关键．