Question

【题目】如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝t，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz．

（1）若t＝1，求异面直线AC1与A1B所成角的大小；

（2）若t＝5，求直线AC1与平面A1BD所成角的正弦值；

（3）若二面角A1—BD—C的大小为120°，求实数t的值.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】分析：（1）先根据坐标表示向量，，再利用向量数量积求向量夹角，即得异面直线与所成角，（2）先利用方程组解得平面的一个法向量，利用向量数量积得向量夹角余弦值，再根据线面角与向量夹角互余关系得结果，（3）先利用方程组解得平面以及平面的一个法向量，利用向量数量积得法向量夹角余弦值，再根据二面角与向量夹角相等或互补关系得结果.

详解：（1）当时，，，，，，

则，

，

故，

所以异面直线与所成角为．

（2）当时，，，，，，

则，，

设平面的法向量，

则由得，

不妨取，则， 此时，

设与平面所成角为，因为，

则，

所以与平面所成角的正弦值为．

（3）由得，，，

设平面的法向量，

则由得，

不妨取，则， 此时，

又平面的法向量，

故，解得，

由图形得二面角大于，所以符合题意．

所以二面角的大小为，的值为．