【题目】已知函数,
.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在区间
有唯一零点
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导得, 分
,
,
,三种情况讨论可得单调区间.
(Ⅱ)由(1)及可知:仅当极大值等于零,即
且
所以,且
,消去
得
,构造函数,证明单调且零点存在且唯一即可.
试题解析:(Ⅰ) ,
,
令,
,
若,即
,则
,
当时,
,
单调递增,
若,即
,则
,仅当
时,等号成立,
当时,
,
单调递增.
若,即
,则
有两个零点
,
,
由,
得
,
当时,
,
,
单调递增;
当时,
,
,
单调递减;
当时,
,
,
单调递增.
综上所述,
当时,
在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递增,
在上单调递减.
(Ⅱ)由(1)及可知:仅当极大值等于零,即
时,符合要求.
此时, 就是函数
在区间
的唯一零点
.
所以,从而有
,
又因为,所以
,
令,则
,
设,则
,
再由(1)知: ,
,
单调递减,
又因为,
,
所以,即
点晴:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题,往往可利用参变分离的方法,转化为求函数最值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
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【题目】设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
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【题目】在平面直角坐标系中,
是抛物线
的焦点,
是抛物线
上的任意一点,当
位于第一象限内时,
外接圆的圆心到抛物线
准线的距离为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过的直线
交抛物线
于
两点,且
,点
为
轴上一点,且
,求点
的横坐标
的取值范围.
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【题目】已知点F(0,1),直线l:y=﹣1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且 .
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于A、B两点,设|DA|=l1 , |DB|=l2 , 求 的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=ax﹣lnx﹣1,若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线2x+y﹣1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)函数g(x)=f(x)﹣m(x﹣1)(m∈R)恰有两个零点x1 , x2(x1<x2),求函数g(x)的单调区间及实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)= 的图象过点A(0,
),B(3,3)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(2,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明;
(3)若m,n∈(2,+∞)且函数f(x)在[m,n]上的值域为[1,3],求m+n的值.
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【题目】商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系p=
该商品的日销售量Q(件)时间t(天)的函数关系Q=﹣t+40(0<t≤30,t∈N*)
求该商品的日销售额的最大值,并指出日销售额最大一天是30天中的第几天?
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