Question

（1）已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。讨论函数的单调性；       

（2）.已知函数f (x)=lnx，g(x)=e^x．设直线l为函数 y＝f (x) 的图象上一点A(x₀，f (x₀))处的切线．问在区间(1，+∞)上是否存在x₀，使得直线l与曲线y=g(x)也相切．若存在，这样的x₀有几个？，若没有，则说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，递增

    当时，在（0，1），递增 在（1，a-1）递减

当时，在（0，a-1）递增，递增，在（a-1，1）递减

（2）在区间（1）一定存在唯一的，使直线l与曲线也相切.

【解析】第一问中，利用f(x)=x－ax+(a－1)，求解导数，然后对于参数a分情况讨论可知函数的单调性。

第二问中，利用导数的几何意义，  切线l的方程为：

设切线l与曲线相切于

   切线l的方程又为

因为与的图象   在（1，）

有且只有一个交点

在区间（1）一定存在唯一的，使直线l与曲线也相切

 

解：（1）当时，递增

    当时，在（0，1），递增 在（1，a-1）递减

当时，在（0，a-1）递增，递增，在（a-1，1）递减………7分

（2）  切线l的方程为：

设切线l与曲线相切于

   切线l的方程又为

………7分

与的图象   在（1，）

有且只有一个交点

在区间（1）一定存在唯一的，使直线l与曲线也相切…………………15分