Question

已知下列命题：（1）已知函数f(x)=x+

p

x-1

（p为常数且p＞0），若f（x）在区间（1，+∞）的最小值为4，则实数p的值为

9

4

； （2）?x∈[0，

π

2

]，sinx+cosx＞

2

；（3）正项等比数列{a_n}中：a₄．a₆=8，函数f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇），则f′(0)=16

2

；（4）若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-n+1，且b_n=2a_n+1，则数列{b_n}前n项和为T_n=4n²-n+2上述命题正确的序号是

 

．

Answer 1

分析：①将函数f（x）配成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解．②根据sinx+cosx≤

2

，可知该命题是假命题；③利用等比数列的性质和定义，分别求出a₅=2

2

，a₃=

2

，a₇=4

2

，对函数f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇）求导，即可求得f′(0)=16

2

，④根据题意b_n=2a_n+1，可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n+n，整体代入即可求得结果．

解答：解：①∵函数 f(x)=x+

p

x-1

=x-1+

p

x-1

+1≥2

p

+1（当且仅当x-1=

p

x-1

等号成立），
∴2

p

+1=4，∴p=

9

4

，∴（x-1）=

9 4

x-1

，解得x=

5

2

或-

1

2

，∴实数p=

9

4

，故该命题是真命题；
②∵sinx+cosx≤

2

，∴?x∈[0，

π

2

]，sinx+cosx＞

2

是假命题；
③∵a₄．a₆=8，∴a₅=2

2

，a₃=

2

，a₇=4

2

，
∵f′（x）=（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇）+x（x+a₅）（x+a₇）+x（x+a₃）（x+a₇）+x（x+a₃）（x+a₅），
∴f′（0）=a₃•a₅•a₇=16

2

，故正确；
④∵b_n=2a_n+1，数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-n+1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n+n
=2S_n+n=4n²-n+2，故正确；
故答案为①③④．

点评：本题考查命题的真假判定，以及三角函数的最值和数列求和，导数等基础知识，是一道综合题，考查学生对基础知识掌握的熟练程度，以及思维的转换，是一道不错的考题，属中档题．