Question

【题目】已知函数（a∈R）．

（1）讨论y＝f（x）的单调性；

（2）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2，求实数a的范围并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），证明见解析

【解析】

（1）先求得函数的单调区间，然后求函数的导数，对分成两种情况，分类讨论函数的单调区间.（2）令，分离常数，构造函数，利用导数求得的单调区间和最大值，结合图像求得的取值范围.构造函数（），利用导数证得在成立，从而证得在上成立.根据的单调性证得.

函数的定义域为

当时，，函数在上为增函数；

当时，，，有，

在有，

即，

综上：当时，函数在上为增函数；

当时，.

（2）有两个不同的零点，即有两个不同的根，

即

即 有两个不同的交点；

，，

，当时，

故.

由上设

令（）

当时，，故在上为增函数，

，从而有，

即，而

则，又因为

所以，

又，，

故，即证.